عنوان فعالیت: فعالیت مساحت مستطیل با محیط ثابت ریاضی دهم انسانی
برای برگزاری یک جلسه، با کنار هم قرار دادن تعدادی میز به صورت مربع‌هایی $\mathbf{1 \times 1}$، یک میز مستطیل شکل به محیط ثابت $\mathbf{20}$ تهیه می‌کنیم. اندازه ضلعی را که صندلی رئیس جلسه در آن قرار می‌گیرد با $\mathbf{x}$ و اندازه ضلع دیگر را با $\mathbf{y}$ نشان می‌دهیم. همچنین مساحت مستطیل را با $\mathbf{S}$ نشان می‌دهیم.
الف) جدول زیر را کامل کنید.
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{9}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{y}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ |
| $\mathbf{S}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{16}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{24}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{16}$ | $\mathbf{\dots}$ |
| $\mathbf{(x, S)}$ | $\mathbf{(1, 9)}$ | $\mathbf{(2, 16)}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{(5, 25)}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{(8, 16)}$ | $\mathbf{\dots}$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت مساحت مستطیل با محیط ثابت صفحه 63 ریاضی دهم انسانی
سلام به شما دانش‌آموزان خوب!
این فعالیت یک مثال عالی از یک **تابع غیرخطی (درجه دوم)** است که در آن **محیط ثابت** است، اما **مساحت** با تغییر ابعاد تغییر می‌کند.
### گام ۱: تعیین ضابطه‌های $\mathbf{y}$ و $\mathbf{S}$
1. **رابطه محیط:** محیط مستطیل ($athbf{P}$) برابر $\mathbf{20}$ است. $\mathbf{P = 2(x + y)}$
$$\mathbf{2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x}$$
2. **رابطه مساحت:** مساحت ($athbf{S}$) برابر $\mathbf{x \times y}$ است.
$$\mathbf{S(x) = x(10 - x) = 10x - x^2}$$
### گام ۲: تکمیل جدول
ما باید از روابط $\mathbf{y = 10 - x}$ و $\mathbf{S = 10x - x^2}$ برای پر کردن جاهای خالی استفاده کنیم.
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{9}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{y = 10 - x}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{1}$ |
| $\mathbf{S = x \times y}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{16}$ | $\mathbf{21}$ | $\mathbf{24}$ | $\mathbf{25}$ | $\mathbf{24}$ | $\mathbf{21}$ | $\mathbf{16}$ | $\mathbf{9}$ |
| $\mathbf{(x, S)}$ | $\mathbf{(1, 9)}$ | $\mathbf{(2, 16)}$ | $\mathbf{(3, 21)}$ | $\mathbf{(4, 24)}$ | $\mathbf{(5, 25)}$ | $\mathbf{(6, 24)}$ | $\mathbf{(7, 21)}$ | $\mathbf{(8, 16)}$ | $\mathbf{(9, 9)}$ |
**توضیح محاسبات جاهای خالی جدول (به ترتیب ظهور):**
* **ستون $\mathbf{x=3}$:** $\mathbf{y = 10 - 3 = 7}$. $\mathbf{S = 3 \times 7 = 21}$. جفت مرتب: $\mathbf{(3, 21)}$.
* **ستون $\mathbf{S=24}$:** (این ستون باید $\mathbf{x=4}$ باشد.) اگر $\mathbf{S=24}$ باشد:
$$\mathbf{10x - x^2 = 24 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0}$$
$$\mathbf{(x - 4)(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 4 \text{ یا } x = 6}$$
با توجه به ترتیب جدول، اینجا $\mathbf{x = 4}$ را قرار می‌دهیم. $\mathbf{y = 10 - 4 = 6}$. جفت مرتب: $\mathbf{(4, 24)}$.
* **ستون $\mathbf{x=6}$:** $\mathbf{y = 10 - 6 = 4}$. $\mathbf{S = 6 \times 4 = 24}$. جفت مرتب: $\mathbf{(6, 24)}$.
* **ستون $\mathbf{S=16}$:** (این ستون باید $\mathbf{x=7}$ باشد.) اگر $\mathbf{S=16}$ باشد:
$$\mathbf{10x - x^2 = 16 \Rightarrow x^2 - 10x + 16 = 0}$$
$$\mathbf{(x - 2)(x - 8) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ یا } x = 8}$$
با توجه به اینکه $\mathbf{x=2}$ قبلاً آمده، اینجا $\mathbf{x=8}$ را در نظر می‌گیریم. $\mathbf{y = 10 - 8 = 2}$. جفت مرتب: $\mathbf{(8, 16)}$.
* **ستون $\mathbf{x=9}$:** $\mathbf{y = 10 - 9 = 1}$. $\mathbf{S = 9 \times 1 = 9}$. جفت مرتب: $\mathbf{(9, 9)}$.
